Depois da Maratona da Matemática em 1985-86 (destinada apenas a alunos com aulas na Siderurgia Nacional) e do Problema da Quinzena em 1986-87 (tanto para alunos com aulas na Siderurgia, como na Escola Secundária do Seixal), em 1987-88, leccionando eu apenas a uma turma, do 10º ano, decidi que o concurso fosse o Problemas só Problemas (de Matemática), destinado exclusivamente a alunos dos Complementares.
As questões foram afixadas em três locais diferentes da escola (também devem ter sido entregues aos professores com turmas do 10º, do 11º e do 12º anos), as respostas eram recebidas no Conselho Directivo (estivesse eu lá ou não) e foram prometidos alguns prémios.
Era um concurso com uma organização intrincada: três temas, designados por «Com um pouco de Lógica», «As Condições das coisas» e «Para que serve a Trigonometria?», cada um deles com duas voltas, sempre com 3 problemas por volta. Foram portanto propostos 18 problemas, quinzenalmente, começando em Fevereiro e acabando em Maio de 1988 (o início do ano lectivo tinha sido muito duro, pelo que só consegui concretizar este concurso tão tarde).
Eis a capa dos primeiros 3 problemas, dedicados à «Lógica» (trata-se da primeira página de uma folha A4 dobrada em duas folhas A5):
E eis o problema da
segunda volta do segundo tema (sobre «Condições»):
“A medida do comprimento dos lados de um rectângulo
é dada por números inteiros. Quais serão essas medidas se o perímetro e a área
dessa figura forem dadas pelo mesmo número?”
A solução podia ser encontrada escrevendo a equação que traduz o enunciado do
problema,
2 (x + y) = xy, sendo tanto x como y números inteiros positivos,
explorando de seguida as possibilidades que ela oferece, o
que levava à conclusão de apenas haver duas soluções, o rectângulo 3 x 6 e o
rectângulo 4 x 4 (o quadrado também é um rectângulo).
Escrevi os seguintes comentários às respostas dos alunos: os do 10º ano apenas
apresentaram a solução 3 x 6, “obtida, aparentemente, por tentativas”; o Pedro
Manuel Filipe escreveu a “expressão que relaciona as duas medidas, atribui-lhe
valores (em N)”, aceitou a solução 3 x 6, rejeitou a solução 4 x 4, “porque um
quadrado não é um rectângulo (erro de pormenor)”, e não explicou muito bem
porque não fez “mais tentativas”; e o José António Portugal (que era aluno do
12º ano) também escreveu a expressão chave, aceitou as soluções 3 x 6 e 4 x 4,
e, recorrendo aos «limites», explicou por que não valeria a pena procurar
outras soluções - não se podia fazer melhor!
Não registei quantos alunos participaram neste concurso (certamente por falta
de tempo), mas registei quem foi premiado: o José António Portugal, por
apresentar o melhor conjunto de respostas, recebeu um puzzle de madeira made in Japan e sold in England; e o Jorge Manuel Teixeira, o José António Lopes, o Paulo Silva
e o Pedro
Manuel Filipe, pelo seu bom desempenho global, receberam uma
lembrança (não me recordo qual).
Comentários
Os problemas foram reproduzidos / adaptados / inspirados em seis livros, em
quatro números da revista «Jeux et Stratégie», numa das edições das Olimpíadas
de Matemática nacionais, na Semana da Física desse ano na escola e num postal
que trouxe de Itália.
É possível consultar e descarregar um PDF com os problemas deste concurso a
partir da página «Documentos» deste blogue.
Fontes: Pedro Esteves / Arquivador
analógico ESJA Um (Doc 125, Doc. 126; Doc. 127, Doc. 128, Doc. 129, Doc. 130,
Doc. 131, Doc. 132 e Doc. 133)
Sem comentários:
Enviar um comentário